Reducciones al absurdo célebres (1ª Entrega) : Prueba de la Infinitud de los números primos (explicada a los niños)
Una de las estrategias de prueba más potentes es la reducción al absurdo. Se trata de suponer lo contrario de lo que queremos demostrar y llegar a una contradicción que nos permita negar lo que habíamos supuesto. Dedicaré una serie de posts a exponer algunas de las reducciones al absurdo más célebres (y hermosas) de la historia del pensamiento. La primera de ellas es una parada obligatoria en el recorrido que os propongo: la prueba de Euclides de que la serie de los números primos es infinita. He tratado de explicar al detalle cada uno de los pasos. La prueba no tiene ninguna complejidad y para comprenderla basta un nivel de matemáticas de primaria. Espero que la disfrutéis.
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Sabemos que un número es primo si y sólo si sus únicos divisores enteros son él mismo y la unidad. Según esta definición, el 1 será primo porque sólo es divisible por sí mismo y por la unidad (que también es él mismo). Lo mismo ocurre con el 2, puesto que entre el 1 y el 2 no hay ningún número entero que lo divida. De este modo, también el 3 será primo, pero no el 4, porque es divisible por sí mismo, por la unidad y por el 2. Según esto, podemos obtener la serie de los números primos:
{1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, ... }
La cuestión es que a medida que avanzamos en la serie de los números naturales, los números primos cada vez son más escasos, es decir, cada vez hay más distancia entre un primo y el siguiente. Esto nos conduce a la siguiente pregunta: ¿La serie de los números primos es infinita? Podemos sospechar que lo es, pero si somos un poquito sibaritas, no nos conformaremos con meras sospechas, sino que querremos saber.
Si fuéramos Dios podríamos comprobar directamente si los números primos se acaban o son infinitos, simplemente recorriendo toda la serie. Pero nuestra condición mortal nos impide recorrer completamente series infinitas, de modo que si queremos responder a nuestra pregunta habrá que encontrar un método indirecto que podamos completar antes de morir.
Afortunadamente tenemos un método indirecto para demostrar cosas: la reducción al absurdo, que consiste, como ya sabemos, en probar que lo contrario de lo que queremos demostrar es contradictorio. Concretamente, la prueba de la infinitud de los números primos se l
a debemos al gran matemático Euclides. Aquí presentaremos una versión de esa prueba.
1.- Suponemos que la serie de los números primos es finita.
Empezamos suponiendo esto precisamente porque queremos demostrar lo contrario, a saber, que la serie de los números primos es infinita.
2.- Existe un número n tal que es el número primo más grande
En efecto, si la serie es finita, se acabará, es decir, habrá un último número primo, al que llamaremos n (podríamos llamarlo 'Pepe' o 'Juanito', o 'Último Primo', pero lo llamamos n) De este modo, la serie completa de los números primos será:
{1, 2, 3, 5, 7, 11, ... , n}
3.- Llamemos k al producto de todos los números primos.
Se trata de que llevemos a cabo la siguiente operación: cojamos la lista de todos los números primos y multipliquémoslos entre sí y al resultado lo llamaremos k.
k = 1 · 2 · 3 · 5 · 7 · ... · n
4.- k es divisible por todos y cada uno de los números primos.
Si 6 es el resultado de multiplicar 2 · 3, es evidente que 6 será divisible por 2 y por 3. Bien, puesto que k es el resultado de multiplicar todos los números primos entre sí, será, en consecuencia, divisible por cualquiera de ellos.
5.- (k + 1) no es divisible por ninguno de los números primos de la lista de todos los números primos.
Si k era divisible por todos porque era el producto de todos ellos, k + 1 no lo será porque, escojamos el número primo que escojamos entre 1 y n, el resto de la división siempre será 1, luego k + 1 no es divisible por ninguno de los miembros de {1, 2, 3, 5, 7, ...,
n}
6.- k + 1 es primo y es mayor que n.
Que k + 1 es primo se sigue del hecho de que no es divisible por ninguno de los números primos entre 1 y n, por lo tanto sus únicos divisores serán él mismo y la unidad. Que es mayor que n es también evidente, ya que si k = 1 · 2 · 3, ..., · n, entonces k tiene que ser mayor que n (pues el producto de n por todos los primos anteriores a n tiene que ser, por fuerza, mayor que n).
7.- Llegamos a la contradicción: n es el último número primo, pero k + 1 es un número primo mayor que n.
Si suponemos que el conjunto de los números primos es finito, de ahí se sigue que existe un último número primo llamado n. Pero esto implica, como hemos visto, que podemos multiplicar entre sí todos los números primos, y el resultado será un número no primo k, que será mayor que n. Pero si a k le sumamos 1, dejará de ser divisible por todos los números anteriores, por lo tanto será primo y mayor que n. Pero no es posible que exista un último número primo n y al mismo tiempo un número primo k + 1 que sea mayor que n, porque entonces n no podria ser el último, que es lo que hemos supuesto. De hecho k + 1 no es tampoco el último número primo, pues se le puede aplicar el mismo razonamiento que a n.
8.- Luego existen infinitos números primos.
Si el hecho de suponer que la serie de los primos es finita nos ha llevado a una
contradicción, podemos afirmar con tranquilidad lo contrario de nuestro supu
esto, a saber, que la serie de los primos es infinita. Ahora ya no es sólo una sospecha. Por mucho que se distancien entre sí, sabemos que nunca encontraremos un último número primo.
Retrato de Euclides
Imagen símbolo infinito
Euclides en la Wikipedia
Página Web sobre Euclides
Euclides en DivulgaMat (Página de Divulación de Matemáticas)
Los Elementos de Euclides
Reducción al absurdo
Reducción al absurdo en la Wikipedia
Gaussianos (Excelente Blog dedicado a las matemáticas, no os lo perdáis)