Uno de los argumentos de Zenón contra el movimiento: Aquiles y la tortuga

El argumento según Aristóteles [Física, VI, 9]

"En una carrera, el más lento nunca será alcanzado por el más rápido; ya que el que persigue al otro siempre debe comenzar por alcanzar el punto del que ha partido el primero, de modo que el más lento siempre tendrá alguna ventaja. Es el mismo razonamiento que el de la dicotomía: La única diferencia es que si bien la magnitud sucesivamente añadida sigue siendo dividida, ya no lo es por dos. Como conclusión del razonamiento se deduce que el más lento no será alcanzado por el más rápido, por la misma razón que en la dicotomía: en ambos casos, en efecto, se concluye que no se puede llegar al límite, tanto si la magnitud se divide de una manera como de la otra; pero aquí se añade que, incluso este héroe de la velocidad, persiguiendo al más lento, no podrá alcanzarle."

El mismo argumento explicado de otra forma (www.e-torredebabel.com)

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A: Aquiles T: Tortuga

t₀, t ₁, t₂, t₃, ... : tiempo 0 o salida, tiempo 1, tiempo 2, tiempo 3, ...

El más rápido de los hombres, Aquiles, no podrá alcanzar nunca al más lento de los animales, la tortuga, si en una carrera se da a ésta una ventaja inicial: supongamos que Aquiles le da a la tortuga una ventaja de 100 metros. Para facilitar la comprensión pongamos que Aquiles sólo corre diez veces más rápido que la tortuga; en el t0 Aquiles está en la salida y la tortuga a 100 metros; en el t1 (pongamos que 15 segundos) Aquiles recorre 100 metros y la tortuga 10; en el t2 (que es 1/10 de t1 = 1,5 segundos) Aquiles llega al punto en el que antes estaba la tortuga y ésta recorre 1 metro; en el t3 (que es 1/10 de t2 = 0,15 segundos) Aquiles recorre este metro pero la tortuga recorre un decímetro; y así sucesivamente. La estrategia del argumento consiste en considerar los tiempos cada vez más pequeños, precisamente en la proporción en que Aquiles le aventaja a la Tortuga en velocidad (1/10), de este modo, aunque en tiempos y en distancias cada vez más pequeñas (una décima parte en cada tiempo considerado) Aquiles nunca alcanzará a la Tortuga, y así la tortuga irá llevando la ventaja hasta espacios infinitamente pequeños. Recorrer un número infinito de puntos parece suponer, por tanto, recorrer un tiempo infinito. Aquiles no podrá alcanzar jamás a la tortuga aún cuando, evidentemente, se vaya aproximando infinitamente a ella.
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Divertimento dramático sobre distancias infinitas (no se lo tomen muy en serio...)

(Hablan Aquiles, cansado de la carrera contra la tortuga, y Alicia, que ya se ha hecho mayor y ha cambiado el país de las maravillas por el país de la filosofía.)

Alicia: ¿Qué te ocurre? Te veo cansado...

Aquiles: Hoy volví a competir con la tortuga.

Alicia: ¿La alcanzaste?

Aquiles: No, hoy tampoco la alcancé

Alicia: Vaya, ¿qué ocurrió esta vez?

Aquiles: Lo de siempre... Cuando estoy a punto de alcanzarla descubro que la distancia que nos separa es infinita. Y me acerco y me acerco; pero nada, siempre el infinito. Y ella, la muy... ¡reptil! Ella lo sabe y se gira riendo: “Jaja, ¿No eras tan rápido, Aquiles?”

Alicia: Qué cruel, tienes que darle una lección.

Aquiles: Pero ¿cómo? Todos los días compito con ella y no hay manera. Después de todo no debí haberle dado ventaja, y ya me estoy cansando de perder. Tal vez mañana no corra.

Alicia: Pero no puedes hacer eso. Si abandonas, la tortuga se reirá de ti infinitamente.

Aquiles: ¿Y qué hago?

Alicia: Entrena más, corre más rápido. Ya es hora de que esa tortuga pruebe tu cólera, Aquiles.

Aquiles: No... es inútil, no es un problema de velocidad, sino de lógica.

Alicia: Pues entrena la lógica.

Aquiles: Pero es que la lógica es la que es, ahí no puedo hacer nada, ni aunque me encolerice...

Alicia: Tal vez Ulises podría ayudarte.

Aquiles: No. Además, te rogaría...

Alicia: Dime.

Aquiles: No te lo tomes a mal, pero prefiero no hablar de trabajo.

Alicia (cabizbaja): Ya... ¿Sabes?

Aquiles: ¿Qué?

Alicia: No se si será por lo de la tortuga, pero últimamente te noto distante.

Aquiles: Yo no quería decírtelo, pero a mi me pasa lo mismo. Espero que no sea algo lógico...

Alicia: Yo creo que es algo del corazón porque cuando te acercas me late muy deprisa, pero... cuanto más rápido late, más lejos te siento. Es como si una distancia infinita nos separara.

Aquiles (triste): A mi me pasa lo mismo. Siempre te miro y te veo tan hermosa... se me acelera el pulso y sin embargo... me resultas tan inalcanzable...

Alicia: Yo a veces intento acercarme a ti, pero no se qué ocurre, porque me acerco y me acerco, y sin embargo tú parece que ni te das cuenta, y empiezas a hablarme de tus problemas con la tortuga y... no es que no me importe pero yo...

Aquiles: Yo también me doy cuenta, y no se qué hacer.

(Aquiles y Alicia están un momento en silencio, mirándose a los ojos muy, muy cerca. Aquiles levanta la mano para limpiarse el sudor, pues está todavía cansado de la carrera, y sin querer toca la cara de Alicia)

Alicia: ¿Qué ha sido eso?

Aquiles: ¿El qué?

Alicia: Has hecho algo con tu mano. No se el qué, pero ha sido maravilloso. Hazlo otra vez, por favor.

Aquiles (levanta su mano despacio y acaricia muy lentamente la mejilla de Alicia): ¿Así?

Alicia: Si.

Aquiles: Qué suave.

Alicia (cerrando los ojos y recostando su cara sobre la mano de Aquiles): Creo que acabamos de recorrer una distancia infinita.