Probablemente 1+1=2

Si le preguntamos a alguien cuánto es 1 + 1 nos responderá sin dudar que 2. Luego nos mirará raro. Si queremos empezar a molestarle más seriamente, podemos preguntarle que cómo sabe que 1+1 son 2, que lo demuestre. En el caso de que no nos mande a freír espárragos, seguramente empezará a mostrar ejemplos en los que tan vulgar igualdad se cumple. Levantará un dedo y dirá "uno", luego levantará otro dedo y dirá "uno", y al final contará los dedos levantados: "uno y dos". Quizá, para terminar de convencernos, cogerá dos piedras y repetirá el mismo proceso. Como lo que nos hemos propuesto es fastidiarle, le diremos que en realidad no ha demostrado nada, porque '1 dedo + 1 dedo = 2 dedos' es verdad porque 1+1=2, no al revés; pretender que lo que ha hecho constituye una demostración sería un flagrante caso de petitio principii, es decir, dar por supuesto lo que hay que demostrar. Aquí nuestro interlocutor, si es educado, se disculpará y se irá maldiciéndonos, a no ser... que sea Bertrand Russell, que tuvo la osadía de demostrar que 1+1=2. Esta es su prueba (pinchar en la imagen para ampliar):

Como veis la cosa tiene miga. Esta prueba está en los Principia Mathematica, obra que Russell escribió junto con Whitehead con el fin de derivar toda la matemática a partir de unos primeros principios evidentes. Para llegar a esta prueba hay que pasar por 378 páginas de rigurosas derivaciones lógicas y le sigen muchas más (de hecho, es dudoso que alguien, a parte de Gödel, haya leído todo el libro con provecho).

En realidad lo que aquí demuestran Russell y Whitehead es que el 0 y el 1 son los únicos números menores que 2. Pero esto es equivalente a demostrar que 1+1 son dos. ¿Por qué? Bien, para que la siguiente igualdad sea verdadera:

a + b = 2

Ni a ni b pueden ser mayores que 2. La prueba de Russell nos permite afirmar que a y b serán 0 ó 1. Si uno de los dos es 0, entonces el otro tiene que ser el dos mismo. Y si uno de los dos es 1, entonces el otro tiene que ser también 1 porque en caso contrario, sería 0 (y la igualdad sería falsa) o un número mayor o igual a 2 (l o que también haría falsa la igualdad). Por lo tanto demostrar que 1+1=2 supone demostrar que 0 y 1 son los únicos números menores que 2.

Si sois lectores avispados, os daréis cuenta de que aquí se están presuponiendo muchas cosas. Esa es la ventaja de la lógica. Mientras que antes la sumita ésta nos parecía algo de lo más simple y evidente, al intentar demostrarla con rigor lógico vemos que no lo es tanto, que la simplicidad era sólo aparente y que en el fondo escondía una gran complejidad.

Tanta es la complejidad que, de hecho, el genial Kurt Gödel consiguió demostrar que jamás sabremos si esa prueba es completa y absolutamente válida porque es imposible demostrar que todo el sistema es consistente (es decir, que no lleva a contradicciones). Pero esto... es otro post.

La notación lógica de los Principia de Russell y Whitehead traducida a los símbolos actuales.
Los Principia Mathematica escaneados.
Bertrand Russell en la Wiki, con Whitehead
Algunos de los avances más importantes en la matemática del siglo XX
El teorema de Gödel en la Wiki
Documento: Los fundamentos de la matemática y los teoremas de Gödel, de Mario A. Natiello
Documento: Lógica de Primer Orden